Hoe optimaliseert het Rotosolve-algoritme de parameters ( θ ) in VQE, en wat zijn de belangrijkste stappen bij dit optimalisatieproces?

/ / Gepubliceerd in Artificial Intelligence, EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning, Variationele Quantum Eigensolver (VQE), VQE's optimaliseren met Rotosolve in Tensorflow Quantum, Examenoverzicht

Het Rotosolve-algoritme is een gespecialiseerde optimalisatietechniek die is ontworpen om de parameters te optimaliseren θ in het Variational Quantum Eigensolver (VQE) raamwerk. VQE is een hybride kwantum-klassiek algoritme dat tot doel heeft de grondtoestandsenergie van een kwantumsysteem te vinden. Dit gebeurt door een kwantumtoestand te parametriseren met een reeks klassieke parameters θ en het gebruik van een klassieke optimizer om de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan van het systeem te minimaliseren. Het Rotosolve-algoritme richt zich specifiek op de optimalisatie van deze parameters, efficiënter dan traditionele methoden.

Belangrijke stappen betrokken bij Rotosolve-optimalisatie

1. Initiële parameterisatie:
In het begin de parameters θ zijn geïnitialiseerd. Deze parameters definiëren de kwantumtoestand |ψ(θ)⟩ die zal worden gebruikt om de grondtoestand van de Hamiltoniaan te benaderen H. De keuze van initiële parameters kan willekeurig zijn of gebaseerd zijn op een of andere heuristiek.

2. Het ontleden van de objectieve functie:
De objectieve functie in VQE is typisch de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan:

    \[ E(θ) = ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩ \]

Het Rotosolve-algoritme maakt gebruik van het feit dat de doelfunctie vaak kan worden ontleed in een som van sinusoïdale functies met betrekking tot elke parameter. Dit is vooral effectief wanneer de ansatz (proefgolffunctie) bestaat uit rotaties rond de Bloch-bol.

3. Optimalisatie met één parameter:
Het kernidee van Rotosolve is om één parameter tegelijk te optimaliseren, terwijl de andere constant blijven. Voor een bepaalde parameter θ_ik, kan de objectieve functie worden uitgedrukt als:

    \[ E(θ) = A \cos(θ_i) + B \sin(θ_i) + C \]

met de meeste A, Ben C zijn coëfficiënten die afhankelijk zijn van de andere vaste parameters en de Hamiltoniaan.

4. De optimale hoek vinden:
Gegeven de sinusoïdale vorm van de objectieve functie met betrekking tot θ_ik, de optimale waarde voor θ_ik analytisch te vinden. Het minimum van de functie A \cos(θ_i) + B \sin(θ_i) + C vindt plaats op:

    \[ θ_i^{\text{opt}} = \arctan2(B, A) \]

Hier \arctan2 is de boogtangensfunctie met twee argumenten, die rekening houdt met de tekens van beide A en B om het juiste kwadrant van de hoek te bepalen.

5. Iteratieve update:
Na het vinden van de optimale waarde voor θ_ik, wordt de parameter bijgewerkt en wordt het proces herhaald voor de volgende parameter. Dit iteratieve proces gaat door totdat convergentie is bereikt, wat betekent dat de veranderingen in de parameters resulteren in verwaarloosbare veranderingen in de objectieve functie.

Voorbeeld

Overweeg een eenvoudige VQE-installatie met een twee-qubit-systeem en een Hamiltoniaan H = Z_1 Z_2 + X_1. De ansatz kan een reeks geparametriseerde rotaties zijn, zoals:

    \[ |ψ(θ)⟩ = R_y(θ_1) ⊗ R_y(θ_2) |00⟩ \]

met de meeste R_y(θ) is een rotatie rond de Y-as per hoek θ.

1. initialisatie:
Laten we initialiseren θ_1 = 0 en θ_2 = 0.

2. Ontleding:
De verwachtingswaarde ⟨ψ(θ)| H |ψ(θ)⟩ kan worden ontleed in sinusoïdale functies met betrekking tot elke parameter.

3. Optimaliseer θ_1:
Bepalen θ_2 = 0 en optimaliseren θ_1. De verwachtingswaarde kan worden geschreven als:

    \[ E(θ_1, 0) = A_1 \cos(θ_1) + B_1 \sin(θ_1) + C_1 \]

Berekenen A_1, B_1en C_1 gebaseerd op de kwantumtoestand en Hamiltoniaan. Vinden θ_1^{\text{opt}} = \arctan2(B_1, A_1).

4. bijwerken θ_1:
bijwerken θ_1 naar θ_1^{\text{opt.}}.

5. Optimaliseer θ_2:
Bepalen θ_1 = θ_1^{\text{opt.}} en optimaliseren θ_2. De verwachtingswaarde kan worden geschreven als:

    \[ E(θ_1^{\text{opt}}, θ_2) = A_2 \cos(θ_2) + B_2 \sin(θ_2) + C_2 \]

Berekenen A_2, B_2en C_2 gebaseerd op de bijgewerkte parameters en Hamiltoniaan. Vinden θ_2^{\text{opt}} = \arctan2(B_2, A_2).

6. bijwerken θ_2:
bijwerken θ_2 naar θ_2^{\text{opt.}}.

7. Herhalen:
Herhaal het proces voor θ_1 en θ_2 totdat de parameters convergeren naar waarden die de objectieve functie minimaliseren.

Voordelen van Rotosolve

- Analytische optimalisatie: Het Rotosolve-algoritme maakt gebruik van de sinusoïdale aard van de objectieve functie met betrekking tot elke parameter, waardoor analytische oplossingen mogelijk zijn in plaats van uitsluitend op numerieke methoden te vertrouwen.
- Efficiëntie: Door één parameter tegelijk te optimaliseren, kan Rotosolve efficiënter zijn dan op gradiënt gebaseerde methoden, vooral in hoogdimensionale parameterruimten.
- Convergentie: Het algoritme convergeert vaak sneller naar de minimale energietoestand vanwege de gerichte aanpak bij parameteroptimalisatie.

Implementatie in TensorFlow Quantum

TensorFlow Quantum (TFQ) biedt een raamwerk voor de integratie van quantum computing met machine learning via TensorFlow. Het implementeren van het Rotosolve-algoritme in TFQ omvat de volgende stappen:

1. Definieer het kwantumcircuit:
Gebruik TFQ om het geparametriseerde kwantumcircuit (ansatz) te definiëren. Bijvoorbeeld:

python
   import tensorflow as tf
   import tensorflow_quantum as tfq
   import cirq

   qubits = [cirq.GridQubit(0, 0), cirq.GridQubit(0, 1)]
   circuit = cirq.Circuit()
   circuit.append(cirq.ry(tfq.util.create_symbol('θ1')).on(qubits[0]))
   circuit.append(cirq.ry(tfq.util.create_symbol('θ2')).on(qubits[1]))

2. Definieer de Hamiltoniaan:
Definieer de Hamiltoniaan voor het kwantumsysteem. Bijvoorbeeld:

python
   hamiltonian = cirq.Z(qubits[0]) * cirq.Z(qubits[1]) + cirq.X(qubits[0])

3. Creëer de verwachtingslaag:
Maak een laag om de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan te berekenen.

python
   expectation_layer = tfq.layers.Expectation()

4. Definieer de objectieve functie:
Definieer de objectieve functie in termen van de verwachtingswaarde.

python
   def objective_function(θ):
       return expectation_layer(circuit, symbol_names=['θ1', 'θ2'], symbol_values=θ, operators=hamiltonian)

5. Implementeer het Rotosolve-algoritme:
Implementeer het Rotosolve-algoritme om de parameters te optimaliseren θ.

{{EJS9}}
Conclusie
Het Rotosolve-algoritme biedt een krachtige methode voor het optimaliseren van de parameters in het Variational Quantum Eigensolver-framework. Door gebruik te maken van de sinusoïdale aard van de doelfunctie met betrekking tot elke parameter, bereikt Rotosolve een efficiënte en vaak snellere convergentie vergeleken met traditionele optimalisatiemethoden. De implementatie ervan in TensorFlow Quantum is een voorbeeld van de integratie van quantum computing met machinaal leren, en maakt de weg vrij voor meer geavanceerde quantumalgoritmen en -toepassingen.
Andere recente vragen en antwoorden over EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning:
Bekijk meer vragen en antwoorden in EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning
Meer vragen en antwoorden:
Tagged onder: , , , , ,