Zijn P en NP eigenlijk dezelfde complexiteitsklasse?
De vraag of P gelijk is aan NP is een van de meest diepgaande en onopgeloste problemen in de informatica en wiskunde. Dit probleem vormt de kern van de computationele complexiteitstheorie, een vakgebied dat de inherente moeilijkheid van computationele problemen bestudeert en deze classificeert op basis van de middelen die nodig zijn om ze op te lossen.
Om de vraag te begrijpen, is het essentieel om de definities van de klassen P en NP te begrijpen. De klasse P bestaat uit beslissingsproblemen (problemen met een ja/nee-antwoord) die in polynomiale tijd kunnen worden opgelost door een deterministische Turing-machine. Polynomiale tijd houdt in dat de tijd die nodig is om het probleem op te lossen, kan worden uitgedrukt als een polynomiale functie van de grootte van de invoer. Voorbeelden van problemen in P zijn onder meer het sorteren van een lijst met getallen (wat gedaan kan worden in O(n log n) tijd met behulp van efficiënte algoritmen zoals mergesort) en het vinden van de grootste gemene deler van twee gehele getallen met behulp van het Euclidische algoritme (dat draait in O(log (min(a, b))) tijd).
De klasse NP daarentegen bestaat uit beslissingsproblemen waarvoor een gegeven oplossing in polynomiale tijd kan worden geverifieerd door een deterministische Turing-machine. Dit betekent dat als iemand een kandidaat-oplossing voor het probleem aandraagt, men de juistheid ervan efficiënt kan controleren. Belangrijk is dat NP niet noodzakelijkerwijs impliceert dat het probleem zelf in polynomiale tijd kan worden opgelost, maar alleen dat een voorgestelde oplossing snel kan worden geverifieerd. Voorbeelden van problemen in NP zijn onder meer het Booleaanse satisfiability-probleem (SAT), waarbij men probeert te bepalen of er een toewijzing van waarheidswaarden aan variabelen bestaat die een bepaalde Booleaanse formule waar maakt, en het Hamiltoniaanse cyclusprobleem, dat vraagt of er een cyclus bestaat. die elk hoekpunt van een grafiek precies één keer bezoekt.
De P vs NP-vraag vraagt zich af of elk probleem waarvan de oplossing in polynomiale tijd kan worden geverifieerd (dwz elk probleem in NP) ook in polynomiale tijd kan worden opgelost (dwz in P). Formeel is de vraag of P = NP. Als P gelijk zou zijn aan NP, zou dit impliceren dat elk probleem waarvoor een oplossing snel kan worden geverifieerd, ook snel kan worden opgelost. Dit zou diepgaande gevolgen hebben voor gebieden als cryptografie, optimalisatie en kunstmatige intelligentie, aangezien veel momenteel hardnekkige problemen potentieel efficiënt oplosbaar zouden kunnen worden.
Ondanks decennia van onderzoek blijft de P versus NP-vraag open. Niemand heeft nog P = NP of P ≠ NP kunnen bewijzen. De moeilijkheid van dit probleem wordt onderstreept doordat het door het Clay Mathematics Institute is opgenomen als een van de zeven ‘Millennium Prize Problems’, met een prijs van 1 miljoen dollar voor een correcte oplossing. Het ontbreken van een oplossing heeft geleid tot belangrijke ontwikkelingen in zowel de theoretische als de toegepaste informatica.
Een van de sleutelconcepten met betrekking tot de P versus NP-vraag is NP-volledigheid. Een probleem is NP-compleet als het zich in NP bevindt en net zo moeilijk als elk ander probleem in NP, in de zin dat elk NP-probleem daartoe kan worden gereduceerd met behulp van een polynomiale tijdsreductie. Het concept van NP-volledigheid werd geïntroduceerd door Stephen Cook in zijn baanbrekende artikel uit 1971, waarin hij bewees dat het SAT-probleem NP-volledig is. Dit resultaat, bekend als de stelling van Cook, was baanbrekend omdat het een concreet voorbeeld gaf van een NP-volledig probleem en een raamwerk creëerde voor het identificeren van andere NP-volledige problemen.
Sindsdien is aangetoond dat veel andere problemen NP-compleet zijn, zoals het handelsreizigersprobleem, het kliekprobleem en het knapzakprobleem. De betekenis van NP-volledigheid is dat als een NP-compleet probleem in polynomiale tijd kan worden opgelost, elk probleem in NP in polynomiale tijd kan worden opgelost, wat impliceert dat P = NP. Omgekeerd, als een NP-volledig probleem niet in polynomiale tijd kan worden opgelost, dan is P ≠ NP.
Om het concept van NP-volledigheid te illustreren, kunnen we het Travelling Salesman Problem (TSP) beschouwen. In dit probleem moet een verkoper een reeks steden bezoeken, elk precies één keer, en terugkeren naar de startstad, met als doel de totale reisafstand te minimaliseren. In de beslissingsversie van TSP wordt gevraagd of er een rondleiding door de steden bestaat met een totale afstand kleiner dan of gelijk aan een bepaalde waarde. Dit probleem doet zich voor in NP omdat men, gegeven een voorgestelde tour, gemakkelijk in polynomiale tijd kan verifiëren of de tour aan de afstandsbeperking voldoet. Bovendien is TSP NP-compleet omdat elk probleem in NP in polynomiale tijd kan worden omgezet in een instantie van TSP.
Een ander voorbeeld is het kliekprobleem, waarbij wordt gevraagd of een bepaalde grafiek een volledige subgraaf (kliek) van een bepaalde grootte bevat. Dit probleem ligt in NP omdat men, gegeven een kandidaat-kliek, in polynomiale tijd kan verifiëren of het inderdaad een kliek van de vereiste omvang is. Het kliekprobleem is ook NP-compleet, wat betekent dat het efficiënt oplossen ervan zou impliceren dat alle NP-problemen efficiënt kunnen worden opgelost.
De studie van P versus NP en NP-volledigheid heeft geleid tot de ontwikkeling van verschillende technieken en hulpmiddelen in de theoretische informatica. Eén van die technieken is het concept van polynomiale tijdsreducties, die worden gebruikt om aan te tonen dat het ene probleem minstens zo moeilijk is als het andere. Een polynomiale tijdreductie van probleem A naar probleem B is een transformatie die instanties van A omzet in instanties van B in polynomiale tijd, zodat een oplossing voor de getransformeerde instantie van B kan worden gebruikt om de oorspronkelijke instantie van A op te lossen. A kan worden herleid tot probleem B in polynomiale tijd, en B kan in polynomiale tijd worden opgelost, dan kan A ook in polynomiale tijd worden opgelost.
Een ander belangrijk concept is het idee van benaderingsalgoritmen, die vrijwel optimale oplossingen bieden voor NP-harde problemen (problemen die minstens zo moeilijk zijn als NP-volledige problemen) in polynomiale tijd. Hoewel deze algoritmen niet noodzakelijkerwijs de exact optimale oplossing vinden, bieden ze een praktische benadering voor het omgaan met hardnekkige problemen door oplossingen te bieden die de best mogelijke oplossing benaderen. Het handelsreizigersprobleem heeft bijvoorbeeld een bekend benaderingsalgoritme dat een tour garandeert binnen een factor 1.5 van de optimale tour voor de metrische TSP (waarbij de afstanden voldoen aan de driehoeksongelijkheid).
De implicaties van het oplossen van de P versus NP-vraag reiken verder dan de theoretische informatica. In de cryptografie vertrouwen veel versleutelingssystemen op de hardheid van bepaalde problemen, zoals factorisatie van gehele getallen en discrete logaritmen, waarvan wordt aangenomen dat ze in NP voorkomen, maar niet in P. Als P gelijk zou zijn aan NP, zouden deze problemen mogelijk efficiënt kunnen worden opgelost, waardoor de de veiligheid van cryptografische systemen. Omgekeerd zou het bewijzen van P ≠ NP een sterkere basis bieden voor de beveiliging van dergelijke systemen.
Bij optimalisatie worden veel problemen uit de echte wereld, zoals planning, routering en toewijzing van middelen, gemodelleerd als NP-harde problemen. Als P gelijk zou zijn aan NP, zou dit betekenen dat efficiënte algoritmen zouden kunnen worden ontwikkeld om deze problemen optimaal op te lossen, wat zou leiden tot aanzienlijke vooruitgang in verschillende industrieën. De huidige aanname dat P ≠ NP heeft echter geleid tot de ontwikkeling van heuristische en benaderingsalgoritmen die praktische oplossingen voor deze problemen bieden.
De P versus NP-vraag heeft ook filosofische implicaties, omdat het raakt aan de aard van de wiskundige waarheid en de grenzen van de menselijke kennis. Als P gelijk zou zijn aan NP, zou dit impliceren dat elke wiskundige bewering met een kort bewijs efficiënt ontdekt zou kunnen worden, wat een revolutie teweeg zou kunnen brengen in het proces van wiskundige ontdekking. Aan de andere kant, als P ≠ NP, zou dit suggereren dat er inherente grenzen zijn aan wat efficiënt kan worden berekend en geverifieerd, wat de complexiteit en rijkdom van wiskundige structuren benadrukt.
Ondanks het ontbreken van een definitief antwoord op de P versus NP-vraag, heeft het onderzoek eromheen geleid tot een dieper begrip van de computationele complexiteit en de ontwikkeling van talrijke technieken en hulpmiddelen die een diepgaande impact hebben gehad op de informatica. De zoektocht om deze vraag op te lossen blijft onderzoekers inspireren en uitdagen, waardoor vooruitgang in het veld wordt gestimuleerd en ons begrip van de fundamentele beperkingen van berekeningen wordt vergroot.
Andere recente vragen en antwoorden over Ingewikkeldheid:
- Is de PSPACE-klasse niet gelijk aan de EXPSPACE-klasse?
- Is de P-complexiteitsklasse een subset van de PSPACE-klasse?
- Kunnen we bewijzen dat de Np- en P-klasse hetzelfde zijn door een efficiënte polynomiale oplossing te vinden voor elk NP-volledig probleem op een deterministische TM?
- Kan de NP-klasse gelijk zijn aan de EXPTIME-klasse?
- Zijn er problemen in PSPACE waarvoor geen NP-algoritme bekend is?
- Kan een SAT-probleem een NP-volledig probleem zijn?
- Kan een probleem zich in de NP-complexiteitsklasse bevinden als er een niet-deterministische turingmachine is die het in polynomiale tijd oplost?
- NP is de klasse van talen die polynomiale tijdverificateurs hebben
- Is elke contextvrije taal in de P-complexiteitsklasse?
- Is er een tegenstrijdigheid tussen de definitie van NP als een klasse van beslissingsproblemen met polynomiale tijdverificateurs en het feit dat problemen in de klasse P ook polynomiale tijdverificateurs hebben?
Bekijk meer vragen en antwoorden in Complexiteit