Kunnen we bewijzen dat de Np- en P-klasse hetzelfde zijn door een efficiënte polynomiale oplossing te vinden voor elk NP-volledig probleem op een deterministische TM?
De vraag of de klassen P en NP gelijkwaardig zijn, is een van de belangrijkste en al lang bestaande open problemen op het gebied van de computationele complexiteitstheorie. Om deze vraag te beantwoorden is het essentieel om de definities en eigenschappen van deze klassen te begrijpen, evenals de implicaties van het vinden van een efficiënte polynomiale tijdoplossing voor elk NP-volledig probleem op een deterministische Turingmachine (TM).
Definities en achtergrond
P (polynomiale tijd): De klasse P bestaat uit beslissingsproblemen (problemen met een ja/nee-antwoord) die in polynomiale tijd kunnen worden opgelost door een deterministische Turing-machine. Met andere woorden, een probleem bevindt zich in P als er een algoritme bestaat dat elk exemplaar van het probleem in de tijd kan oplossen dat wordt begrensd door een polynomiale functie van de grootte van de invoer.
NP (niet-deterministische polynomiale tijd): De klasse NP bestaat uit beslissingsproblemen waarvoor een gegeven oplossing in polynomiale tijd kan worden geverifieerd door een deterministische Turingmachine. Als alternatief kan NP worden beschreven als de klasse van problemen die in polynomiale tijd kunnen worden opgelost door een niet-deterministische Turing-machine. Een niet-deterministische Turing-machine is een theoretisch model dat 'gissingen' kan doen en tegelijkertijd meerdere rekenpaden kan verkennen.
NP-volledige problemen: Een probleem is NP-compleet als het aan twee voorwaarden voldoet:
1. Het bevindt zich in NP.
2. Elk probleem in NP kan daartoe worden herleid met behulp van een polynomiale tijdreductie. Dit betekent dat als we een polynoomtijdalgoritme hebben voor het oplossen van een NP-volledig probleem, we dit kunnen gebruiken om elk probleem in NP in polynomiale tijd op te lossen.
De P versus NP-vraag
De P vs. NP-vraag stelt de vraag of elk probleem in NP in polynomiale tijd kan worden opgelost door een deterministische Turing-machine, dwz of P = NP. Als P = NP, zou dit betekenen dat elk probleem waarvoor een oplossing snel kan worden geverifieerd (in polynomiale tijd), ook snel kan worden opgelost (in polynomiale tijd).
P = NP bewijzen door een NP-compleet probleem op te lossen
Als we een efficiënte polynomiale tijdoplossing kunnen vinden voor elk NP-volledig probleem op een deterministische Turingmachine, kunnen we bewijzen dat P = NP. Dit komt door de aard van NP-volledige problemen: als één NP-volledig probleem in polynomiale tijd kan worden opgelost, dan kan elk probleem in NP in polynomiale tijd in dat probleem worden getransformeerd (gereduceerd), en dus ook in polynomiale tijd kunnen worden opgelost. polynomische tijd.
Voorbeeld: het tevredenheidsprobleem (SAT)
Een van de meest bekende NP-volledige problemen is het Booleaanse satisfiability-probleem (SAT). Het SAT-probleem vraagt zich af of er een toewijzing van waarheidswaarden aan variabelen bestaat, zodat een gegeven Booleaanse formule naar waar resulteert. De stelling van Cook-Levin stelde vast dat SAT NP-compleet is, wat betekent dat als we SAT in polynomiale tijd kunnen oplossen, we elk probleem in NP in polynomiale tijd kunnen oplossen.
Stappen om P = NP te bewijzen
1. Identificeer een NP-volledig probleem: Kies een bekend NP-compleet probleem, zoals SAT, 3-SAT of het Travelling Salesman Problem (TSP).
2. Ontwikkel een polynoom-tijdalgoritme: Construeer een algoritme dat het gekozen NP-volledig probleem in polynomiale tijd oplost op een deterministische Turingmachine.
3. Polynomiale tijd verifiëren: Zorg ervoor dat het algoritme in de tijd wordt uitgevoerd, begrensd door een polynomiale functie van de invoergrootte.
4. Polynomiale tijdreductie: Demonstreer dat elk probleem in NP kan worden gereduceerd tot het gekozen NP-volledige probleem in polynomiale tijd.
Implicaties van P = NP
Als bewezen wordt dat P = NP, zouden de implicaties ingrijpend zijn voor verschillende vakgebieden, waaronder cryptografie, optimalisatie en kunstmatige intelligentie. Veel cryptografische systemen gaan ervan uit dat bepaalde problemen (bijvoorbeeld het ontbinden van grote gehele getallen) moeilijk op te lossen zijn in polynomiale tijd. Als P = NP zouden deze aannames niet langer gelden, waardoor de veiligheid van cryptografische protocollen mogelijk in gevaar zou komen.
Current Status
Ondanks uitgebreid onderzoek heeft nog niemand een polynomiaal tijdalgoritme gevonden voor welk NP-volledig probleem dan ook, noch heeft iemand bewezen dat een dergelijk algoritme niet kan bestaan. Het P vs. NP-probleem blijft een van de zeven "Millennium Prize Problems" waarvoor het Clay Mathematics Institute een prijs van een miljoen dollar heeft uitgeloofd voor een correcte oplossing.
Conclusie
De vraag of P en NP hetzelfde zijn door een efficiënte polynomiale oplossing te vinden voor elk NP-volledig probleem op een deterministische Turing-machine blijft open. De complexiteit van dit probleem ligt in de intrinsieke moeilijkheid van NP-volledige problemen en de uitdaging om daarvoor polynomiale tijdalgoritmen te ontwikkelen. De oplossing van deze vraag zou verstrekkende gevolgen hebben voor meerdere domeinen van de informatica en daarbuiten.
Andere recente vragen en antwoorden over Ingewikkeldheid:
- Is de PSPACE-klasse niet gelijk aan de EXPSPACE-klasse?
- Is de P-complexiteitsklasse een subset van de PSPACE-klasse?
- Kan de NP-klasse gelijk zijn aan de EXPTIME-klasse?
- Zijn er problemen in PSPACE waarvoor geen NP-algoritme bekend is?
- Kan een SAT-probleem een NP-volledig probleem zijn?
- Kan een probleem zich in de NP-complexiteitsklasse bevinden als er een niet-deterministische turingmachine is die het in polynomiale tijd oplost?
- NP is de klasse van talen die polynomiale tijdverificateurs hebben
- Zijn P en NP eigenlijk dezelfde complexiteitsklasse?
- Is elke contextvrije taal in de P-complexiteitsklasse?
- Is er een tegenstrijdigheid tussen de definitie van NP als een klasse van beslissingsproblemen met polynomiale tijdverificateurs en het feit dat problemen in de klasse P ook polynomiale tijdverificateurs hebben?
Bekijk meer vragen en antwoorden in Complexiteit