Hoe worden de metingen omgezet in de Z-basis voor verschillende Pauli-termen, en waarom is deze transformatie nodig in de context van VQE?

In de context van de Variational Quantum Eigensolver (VQE) geïmplementeerd met behulp van TensorFlow Quantum voor 2-qubit Hamiltonians, is het transformeren van de metingen naar de Z-basis voor verschillende Pauli-termen een belangrijke stap in het proces. Deze transformatie is noodzakelijk om de verwachtingswaarden van de componenten van de Hamiltonian nauwkeurig te schatten, die essentieel zijn voor het evalueren van de kostenfunctie in het VQE-algoritme.

Pauli-termen en de Hamiltoniaan begrijpen

Een Hamiltoniaan van 2 qubit in de kwantummechanica kan worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van tensorproducten van Pauli-operatoren. De Pauli-operatoren zijn dat wel $\sigma_x$ , $\sigma_j$ en $\sigma_z$ , samen met de identiteitsoperator $I$ . Voor een 2-qubit-systeem is de Hamiltoniaan $H$ kan worden geschreven als:

$H = \sum_{i,j} c_{ij} (\sigma_i \otimes \sigma_j)$

met de meeste $\sigma_i$ en $\sigma_j$ zijn Pauli-operatoren of de identiteitsoperator die respectievelijk op de eerste en tweede qubits inwerkt, en $c_{ij}$ zijn echte coëfficiënten.

Meting in kwantumcomputers

Bij kwantumcomputers worden metingen doorgaans uitgevoerd op de computationele basis, ook wel de Z-basis genoemd. Dit betekent dat de meetresultaten overeenkomen met de eigenwaarden van de $\sigma_z$ operator, die +1 en -1 zijn. Als u echter de verwachtingswaarden wilt schatten van Pauli-termen die niet in de Z-basis liggen (zoals $\sigma_x$ or $\sigma_j$ ), moeten we de toestand van de qubits zodanig transformeren dat deze metingen effectief kunnen worden uitgevoerd op de Z-basis.

Basistransformatie

Voor elke Pauli-term in de Hamiltoniaan passen we een specifieke unitaire transformatie toe om de meting om te zetten in de Z-basis. Dit zijn de transformaties voor de Pauli-operatoren:

1. Pauli-X ( $\sigma_x$ ): Om te meten in de $\sigma_x$ basis passen we een Hadamard-poort toe $H$ vóór de meting. De Hadamard-poort transformeert de basis als volgt:

$H \sigma_z H = \sigma_x$

Daarom solliciteren $H$ naar een qubit voordat deze in de Z-basis wordt gemeten, meet deze effectief in de $\sigma_x$ basis.

2. Pauli-Y ( $\sigma_j$ ): Om te meten in de $\sigma_j$ basis, passen we een reeks poorten toe: $S^\dolk$ poort gevolgd door een Hadamard-poort. De $S^\dolk$ poort is het omgekeerde van de fasepoort $S$ , en het transformeert de basis als volgt:

$HS^\dolk \sigma_z SH = \sigma_y$

Daarom solliciteren $S^\dolk$ gevolgd door $H$ naar een qubit voordat deze in de Z-basis wordt gemeten, meet deze effectief in de $\sigma_j$ basis.

3. Pauli-Z ( $\sigma_z$ ): Meting in de $\sigma_z$ basis vereist geen enkele transformatie, omdat deze zich al in de Z-basis bevindt.

Voorbeeld van basistransformatie

Beschouw een Hamiltoniaan voor een 2-qubit-systeem gegeven door:

$H = c_1 (\sigma_x \otimes \sigma_z) + c_2 (\sigma_y \otimes \sigma_y) + c_3 (\sigma_z \otimes I)$

Om de verwachtingswaarde van deze Hamiltoniaan te meten, moeten we elke term transformeren naar de Z-basis:

1. Voor de looptijd $\sigma_x \otimes \sigma_z$ :
– Breng een Hadamard-poort aan $H$ naar de eerste qubit.
– Meet beide qubits in de Z-basis.

2. Voor de looptijd $\sigma_y \otimes \sigma_y$ :
- Van toepassing zijn $S^\dolk H$ voor beide qubits.
– Meet beide qubits in de Z-basis.

3. Voor de looptijd $\sigma_z \otimes I$ :
– Er is geen transformatie nodig.
– Meet de eerste qubit in de Z-basis.

Implementatie in TensorFlow Quantum

In TensorFlow Quantum kunnen deze transformaties worden geïmplementeerd met behulp van kwantumcircuits. Hier is een pseudocodevoorbeeld voor het meten van de hierboven genoemde Hamiltoniaan:

Noodzaak van basistransformatie in VQE

Het doel van het VQE-algoritme is om de grondtoestandsenergie van een bepaalde Hamiltoniaan te vinden. Dit wordt bereikt door een kwantumcircuit (de ansatz) te parametriseren en de parameters te optimaliseren om de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan te minimaliseren. De verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan wordt berekend als een gewogen som van de verwachtingswaarden van de Pauli-termen.

Om deze verwachtingswaarden nauwkeurig te berekenen, moeten metingen op de juiste bases worden uitgevoerd. Omdat kwantumcomputers doorgaans in de Z-basis meten, transformeren we de metingen voor Pauli-termen als $\sigma_x$ en $\sigma_j$ in de Z-basis. Dit zorgt ervoor dat we de eigen meetmogelijkheden van de kwantumhardware kunnen benutten en toch de nodige informatie kunnen verkrijgen om de verwachtingswaarde van de Hamiltoniaan te evalueren.

Zonder deze basistransformaties zouden we de verwachtingswaarden van Pauli-termen die niet in de Z-basis liggen niet correct kunnen meten, wat leidt tot onjuiste evaluaties van de kostenfunctie en dientengevolge tot onjuiste optimalisatie van de variatieparameters.

Andere recente vragen en antwoorden over EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning:

Bekijk meer vragen en antwoorden in EITC/AI/TFQML TensorFlow Quantum Machine Learning

Meer vragen en antwoorden:

Tagged onder: Artificial Intelligence, BasisTransformatie, PauliOperators, Kwantumcomputers, TensorFlowQuantum, VQE

EITCA Academie