EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals is het Europese IT-certificeringsprogramma voor theoretische en praktische aspecten van kwantuminformatie en kwantumberekening, gebaseerd op de wetten van de kwantumfysica in plaats van de klassieke fysica en biedt kwalitatieve voordelen ten opzichte van hun klassieke tegenhangers.
Het curriculum van de EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals omvat inleiding tot kwantummechanica (inclusief beschouwing van het dubbelspletenexperiment en materiegolfinterferentie), inleiding tot kwantuminformatie (qubits en hun geometrische representatie), lichtpolarisatie, onzekerheidsprincipe, kwantum verstrengeling, EPR-paradox, Bell-ongelijkheidsschending, opgeven van lokaal realisme, kwantuminformatieverwerking (inclusief unitaire transformatie, single-qubit en two-qubit gates), niet-klonen stelling, kwantumteleportatie, kwantummeting, kwantumberekening (inclusief inleiding tot multi -qubit-systemen, universele familie van poorten, omkeerbaarheid van berekeningen), kwantumalgoritmen (inclusief Quantum Fourier Transform, Simon's algoritme, uitgebreide Churh-Turing thesis, Shor'q kwantumfactoringalgoritme, Grover's kwantumzoekalgoritme), kwantumwaarnemers, Shrodinger's vergelijking, qubits-implementaties, kwantumcomplexiteitstheorie, adiabatische kwantumcomputer ion, BQP, inleiding tot spin, binnen de volgende structuur, met uitgebreide didactische video-inhoud als referentie voor deze EITC-certificering.
Kwantuminformatie is de informatie over de toestand van een kwantumsysteem. Het is de basiseenheid van onderzoek in de kwantuminformatietheorie en kan worden gemanipuleerd met behulp van kwantuminformatieverwerkingstechnieken. Kwantuminformatie verwijst naar zowel de technische definitie in termen van Von Neumann-entropie als de algemene rekenterm.
Kwantuminformatie en -berekening is een interdisciplinair veld dat onder andere kwantummechanica, informatica, informatietheorie, filosofie en cryptografie omvat. De studie is ook relevant voor disciplines zoals cognitieve wetenschappen, psychologie en neurowetenschappen. De belangrijkste focus ligt op het extraheren van informatie uit materie op microscopische schaal. Observatie in de wetenschap is een fundamenteel onderscheidend criterium van de werkelijkheid en een van de belangrijkste manieren om informatie te verkrijgen. Daarom is meting vereist om de waarneming te kwantificeren, waardoor het cruciaal is voor de wetenschappelijke methode. In de kwantummechanica, vanwege het onzekerheidsprincipe, kunnen niet-pendelende waarneembare objecten niet tegelijkertijd precies worden gemeten, omdat een eigentoestand in de ene basis geen eigentoestand is in de andere basis. Omdat beide variabelen niet tegelijkertijd goed gedefinieerd zijn, kan een kwantumtoestand nooit definitieve informatie over beide variabelen bevatten. Vanwege deze fundamentele eigenschap van de meting in de kwantummechanica, kan deze theorie in het algemeen worden gekarakteriseerd als niet-deterministisch in tegenstelling tot de klassieke mechanica, die volledig deterministisch is. Het indeterminisme van kwantumtoestanden kenmerkt informatie die wordt gedefinieerd als toestanden van kwantumsystemen. In wiskundige termen zijn deze toestanden in superposities (lineaire combinaties) van toestanden van klassieke systemen.
Omdat informatie altijd wordt gecodeerd in de toestand van een fysiek systeem, is het op zichzelf fysiek. Terwijl de kwantummechanica zich bezighoudt met het onderzoeken van eigenschappen van materie op microscopisch niveau, richt de kwantuminformatiewetenschap zich op het extraheren van informatie uit die eigenschappen, en kwantumberekening manipuleert en verwerkt kwantuminformatie - voert logische bewerkingen uit - met behulp van kwantuminformatieverwerkingstechnieken.
Kwantuminformatie kan, net als klassieke informatie, worden verwerkt met behulp van computers, van de ene locatie naar de andere worden verzonden, gemanipuleerd met algoritmen en worden geanalyseerd met informatica en wiskunde. Net zoals de basiseenheid van klassieke informatie de bit is, heeft kwantuminformatie te maken met qubits, die kunnen bestaan in superpositie van 0 en 1 (die tegelijkertijd enigszins waar en onwaar is). Kwantuminformatie kan ook bestaan in zogenaamde verstrengelde toestanden, die puur niet-klassieke niet-lokale correlaties vertonen in hun metingen, waardoor toepassingen zoals de kwantumteleportatie mogelijk worden. Het niveau van verstrengeling kan worden gemeten met Von Neumann-entropie, die ook een maat is voor kwantuminformatie. Onlangs is het gebied van kwantumcomputing een zeer actief onderzoeksgebied geworden vanwege de mogelijkheid om moderne berekeningen, communicatie en cryptografie te verstoren.
De geschiedenis van kwantuminformatie begon aan het begin van de 20e eeuw, toen de klassieke natuurkunde een revolutie teweegbracht in de kwantumfysica. De theorieën van de klassieke natuurkunde voorspelden absurditeiten zoals de ultraviolette catastrofe of elektronen die in een spiraal de kern binnenslingeren. Aanvankelijk werden deze problemen terzijde geschoven door ad-hochypothese toe te voegen aan de klassieke natuurkunde. Al snel werd duidelijk dat er een nieuwe theorie moest worden gecreëerd om deze absurditeiten te begrijpen, en de theorie van de kwantummechanica was geboren.
Kwantummechanica werd geformuleerd door Schrödinger met behulp van golfmechanica en Heisenberg met behulp van matrixmechanica. De gelijkwaardigheid van deze methoden werd later bewezen. Hun formuleringen beschreven de dynamiek van microscopische systemen, maar hadden verschillende onbevredigende aspecten bij het beschrijven van meetprocessen. Von Neumann formuleerde de kwantumtheorie met behulp van operatoralgebra op een manier die zowel metingen als dynamiek beschreef. Deze studies benadrukten de filosofische aspecten van meten in plaats van een kwantitatieve benadering om informatie via metingen te extraheren.
In de jaren zestig stelden Stratonovich, Helstrom en Gordon een formulering voor optische communicatie voor met behulp van kwantummechanica. Dit was de eerste historische verschijning van de kwantuminformatietheorie. Ze bestudeerden vooral foutkansen en kanaalcapaciteiten voor communicatie. Later verkreeg Holevo een bovengrens van communicatiesnelheid bij het verzenden van een klassiek bericht via een kwantumkanaal.
In de jaren zeventig begonnen technieken te worden ontwikkeld voor het manipuleren van kwantumtoestanden met één atoom, zoals de atoomval en de scanning tunneling-microscoop, waardoor het mogelijk werd om afzonderlijke atomen te isoleren en ze in arrays te rangschikken. Voorafgaand aan deze ontwikkelingen was nauwkeurige controle over enkele kwantumsystemen niet mogelijk, en experimenten maakten gebruik van grovere, gelijktijdige controle over een groot aantal kwantumsystemen. De ontwikkeling van levensvatbare single-state manipulatietechnieken leidde tot een verhoogde interesse op het gebied van kwantuminformatie en berekeningen.
In de jaren tachtig ontstond er belangstelling voor de vraag of het mogelijk zou zijn om kwantumeffecten te gebruiken om de relativiteitstheorie van Einstein te weerleggen. Als het mogelijk zou zijn om een onbekende kwantumtoestand te klonen, zou het mogelijk zijn om verstrengelde kwantumtoestanden te gebruiken om informatie sneller dan de lichtsnelheid te verzenden, wat de theorie van Einstein weerlegt. De stelling zonder klonen toonde echter aan dat dergelijk klonen onmogelijk is. De stelling was een van de vroegste resultaten van de kwantuminformatietheorie.
Ontwikkeling vanuit cryptografie
Ondanks alle opwinding en belangstelling voor het bestuderen van geïsoleerde kwantumsystemen en het proberen een manier te vinden om de relativiteitstheorie te omzeilen, stagneerde het onderzoek in de kwantuminformatietheorie in de jaren tachtig. Rond dezelfde tijd begon echter een andere weg te ploeteren in kwantuminformatie en berekeningen: cryptografie. In algemene zin is cryptografie het probleem van het doen van communicatie of berekeningen waarbij twee of meer partijen betrokken zijn die elkaar misschien niet vertrouwen.
Bennett en Brassard ontwikkelden een communicatiekanaal waarop je niet kunt afluisteren zonder ontdekt te worden, een manier om heimelijk op lange afstanden te communiceren met behulp van het BB84 kwantumcryptografische protocol. Het kernidee was het gebruik van het fundamentele principe van de kwantummechanica dat observatie het waargenomene verstoort, en de introductie van een afluisteraar in een beveiligde communicatielijn zal de twee partijen die proberen te communiceren onmiddellijk op de hoogte stellen van de aanwezigheid van de afluisteraar.
Ontwikkeling vanuit informatica en wiskunde
Met de komst van Alan Turing's revolutionaire ideeën over een programmeerbare computer of Turing-machine, toonde hij aan dat elke reële berekening kan worden vertaald in een equivalente berekening met een Turing-machine. Dit staat bekend als de Church-Turing-these.
Al snel werden de eerste computers gemaakt en de computerhardware groeide in zo'n snel tempo dat de groei, door ervaring in de productie, werd vastgelegd in een empirische relatie die de wet van Moore wordt genoemd. Deze 'wet' is een projectieve trend die stelt dat het aantal transistors in een geïntegreerde schakeling elke twee jaar verdubbelt. Toen transistors steeds kleiner begonnen te worden om meer vermogen per oppervlak te kunnen pakken, begonnen kwantumeffecten in de elektronica te verschijnen, wat resulteerde in onbedoelde interferentie. Dit leidde tot de komst van kwantumcomputing, die kwantummechanica gebruikte om algoritmen te ontwerpen.
Op dit punt lieten kwantumcomputers zien dat ze veel sneller zouden zijn dan klassieke computers voor bepaalde specifieke problemen. Een voorbeeld van zo'n probleem is ontwikkeld door David Deutsch en Richard Jozsa, bekend als het Deutsch-Jozsa-algoritme. Dit probleem had echter weinig tot geen praktische toepassingen. Peter Shor kwam in 1994 met een zeer belangrijk en praktisch probleem, namelijk het vinden van de priemfactoren van een geheel getal. Het discrete logaritmeprobleem, zoals het werd genoemd, kon efficiënt worden opgelost op een kwantumcomputer, maar niet op een klassieke computer, wat aantoont dat kwantumcomputers krachtiger zijn dan Turing-machines.
Ontwikkeling vanuit informatietheorie
Rond de tijd dat de computerwetenschap een revolutie doormaakte, gold dat ook voor informatietheorie en communicatie, via Claude Shannon. Shannon ontwikkelde twee fundamentele stellingen van de informatietheorie: de stelling van de ruisloze kanaalcodering en de stelling van de ruisloze kanaalcodering. Hij toonde ook aan dat foutcorrigerende codes kunnen worden gebruikt om de verzonden informatie te beschermen.
De kwantuminformatietheorie volgde ook een soortgelijk traject, Ben Schumacher maakte in 1995 een analogie met de geruisloze coderingsstelling van Shannon met behulp van de qubit. Er is ook een theorie van foutcorrectie ontwikkeld, waarmee kwantumcomputers efficiënte berekeningen kunnen maken, ongeacht ruis, en betrouwbare communicatie kunnen maken via lawaaierige kwantumkanalen.
Qubits en informatietheorie
Kwantuminformatie verschilt sterk van klassieke informatie, belichaamd door de bit, op veel opvallende en onbekende manieren. Terwijl de fundamentele eenheid van klassieke informatie de bit is, is de meest elementaire eenheid van kwantuminformatie de qubit. Klassieke informatie wordt gemeten met Shannon-entropie, terwijl de kwantummechanische analoog Von Neumann-entropie is. Een statistisch ensemble van kwantummechanische systemen wordt gekenmerkt door de dichtheidsmatrix. Veel entropiematen in de klassieke informatietheorie kunnen ook worden gegeneraliseerd naar het kwantumgeval, zoals Holevo-entropie en de voorwaardelijke kwantumentropie.
In tegenstelling tot klassieke digitale toestanden (die discreet zijn), heeft een qubit een continue waarde, te beschrijven door een richting op de Bloch-bol. Ondanks dat het op deze manier continu wordt gewaardeerd, is een qubit de kleinst mogelijke eenheid van kwantuminformatie, en ondanks dat de qubit-toestand continu wordt gewaardeerd, is het onmogelijk om de waarde precies te meten. Vijf beroemde stellingen beschrijven de grenzen aan de manipulatie van kwantuminformatie:
- geen-teleportatie-stelling, die stelt dat een qubit niet (geheel) kan worden omgezet in klassieke bits; dat wil zeggen, het kan niet volledig worden "gelezen",
- niet-klonen stelling, die voorkomt dat een willekeurige qubit wordt gekopieerd,
- niet-verwijderende stelling, die voorkomt dat een willekeurige qubit wordt verwijderd,
- no-broadcasting-stelling, die voorkomt dat een willekeurige qubit aan meerdere ontvangers wordt afgeleverd, hoewel deze van plaats naar plaats kan worden getransporteerd (bijvoorbeeld via kwantumteleportatie),
- niet-verbergende stelling, die het behoud van kwantuminformatie aantoont. Deze stellingen bewijzen dat kwantuminformatie in het universum behouden blijft en openen unieke mogelijkheden in de verwerking van kwantuminformatie.
Quantum-informatieverwerking
De staat van een qubit bevat al zijn informatie. Deze toestand wordt vaak uitgedrukt als een vector op de Bloch-bol. Deze toestand kan worden veranderd door er lineaire transformaties of kwantumpoorten op toe te passen. Deze unitaire transformaties worden beschreven als rotaties op de Bloch Sphere. Terwijl klassieke poorten overeenkomen met de bekende bewerkingen van Booleaanse logica, zijn kwantumpoorten fysieke unitaire operatoren.
Vanwege de vluchtigheid van kwantumsystemen en de onmogelijkheid om toestanden te kopiëren, is het opslaan van kwantuminformatie veel moeilijker dan het opslaan van klassieke informatie. Niettemin kan met het gebruik van kwantumfoutcorrectie kwantuminformatie in principe nog steeds betrouwbaar worden opgeslagen. Het bestaan van kwantumfoutcorrigerende codes heeft ook geleid tot de mogelijkheid van fouttolerante kwantumberekening.
Klassieke bits kunnen worden gecodeerd in en vervolgens worden opgehaald uit configuraties van qubits, door het gebruik van kwantumpoorten. Op zichzelf kan een enkele qubit niet meer dan één beetje toegankelijke klassieke informatie over de voorbereiding ervan overbrengen. Dit is de stelling van Holevo. Bij superdense codering kan een zender echter, door te handelen op een van de twee verstrengelde qubits, twee bits toegankelijke informatie over hun gezamenlijke toestand naar een ontvanger overbrengen.
Quantuminformatie kan in een kwantumkanaal worden verplaatst, analoog aan het concept van een klassiek communicatiekanaal. Quantumberichten hebben een eindige grootte, gemeten in qubits; kwantumkanalen hebben een eindige kanaalcapaciteit, gemeten in qubits per seconde.
Kwantuminformatie en veranderingen in kwantuminformatie kunnen kwantitatief worden gemeten met behulp van een analoog van Shannon-entropie, de von Neumann-entropie.
In sommige gevallen kunnen kwantumalgoritmen worden gebruikt om berekeningen sneller uit te voeren dan in enig bekend klassiek algoritme. Het bekendste voorbeeld hiervan is het algoritme van Shor dat getallen in polynomiale tijd kan ontbinden, in vergelijking met de beste klassieke algoritmen die subexponentiële tijd nemen. Omdat factorisatie een belangrijk onderdeel is van de veiligheid van RSA-codering, leidde het algoritme van Shor tot het nieuwe veld van post-kwantumcryptografie, dat probeert encryptieschema's te vinden die veilig blijven, zelfs wanneer kwantumcomputers in het spel zijn. Andere voorbeelden van algoritmen die kwantumsuprematie aantonen, zijn onder meer het zoekalgoritme van Grover, waarbij het kwantumalgoritme een kwadratische versnelling geeft ten opzichte van het best mogelijke klassieke algoritme. De complexiteitsklasse van problemen die efficiënt oplosbaar zijn door een kwantumcomputer, staat bekend als BQP.
Quantum key distribution (QKD) maakt onvoorwaardelijk veilige overdracht van klassieke informatie mogelijk, in tegenstelling tot klassieke codering, die in principe altijd kan worden verbroken, zo niet in de praktijk. Houd er rekening mee dat bepaalde subtiele punten met betrekking tot de veiligheid van QKD nog steeds fel bediscussieerd worden.
De studie van alle bovenstaande onderwerpen en verschillen omvat de kwantuminformatietheorie.
Relatie met kwantummechanica
Kwantummechanica is de studie van hoe microscopische fysieke systemen dynamisch van aard veranderen. Op het gebied van de kwantuminformatietheorie worden de bestudeerde kwantumsystemen geabstraheerd van elke echte tegenhanger. Een qubit kan bijvoorbeeld fysiek een foton zijn in een lineaire optische kwantumcomputer, een ion in een opgesloten ionen kwantumcomputer, of het kan een grote verzameling atomen zijn zoals in een supergeleidende kwantumcomputer. Ongeacht de fysieke implementatie, gelden de limieten en kenmerken van qubits die worden geïmpliceerd door de kwantuminformatietheorie, aangezien al deze systemen wiskundig worden beschreven door hetzelfde apparaat van dichtheidsmatrices over de complexe getallen. Een ander belangrijk verschil met de kwantummechanica is dat, terwijl de kwantummechanica vaak oneindig-dimensionale systemen zoals een harmonische oscillator bestudeert, de kwantuminformatietheorie zowel betrekking heeft op continu-variabele systemen als op eindig-dimensionale systemen.
Kwantumberekening
Quantum computing is een type berekening dat gebruikmaakt van de collectieve eigenschappen van kwantumtoestanden, zoals superpositie, interferentie en verstrengeling, om berekeningen uit te voeren. De apparaten die kwantumberekeningen uitvoeren, staan bekend als kwantumcomputers.: I-5 Hoewel de huidige kwantumcomputers te klein zijn om de gebruikelijke (klassieke) computers voor praktische toepassingen te overtreffen, wordt aangenomen dat ze in staat zijn om bepaalde rekenproblemen op te lossen, zoals factorisatie van gehele getallen (die ten grondslag ligt aan RSA-codering), aanzienlijk sneller dan klassieke computers. De studie van kwantumcomputing is een deelgebied van de kwantuminformatiewetenschap.
Quantum computing begon in 1980 toen natuurkundige Paul Benioff een kwantummechanisch model van de Turing-machine voorstelde. Richard Feynman en Yuri Manin suggereerden later dat een kwantumcomputer het potentieel had om dingen te simuleren die een klassieke computer onmogelijk zou kunnen doen. In 1994 ontwikkelde Peter Shor een kwantumalgoritme voor het ontcijferen van gehele getallen met het potentieel om RSA-gecodeerde communicatie te ontsleutelen. In 1998 creëerden Isaac Chuang, Neil Gershenfeld en Mark Kubinec de eerste twee-qubit kwantumcomputer die berekeningen kon uitvoeren. Ondanks de voortdurende experimentele vooruitgang sinds het einde van de jaren negentig, zijn de meeste onderzoekers van mening dat "fouttolerante kwantumcomputing [nog] een verre droom is." De afgelopen jaren zijn de investeringen in onderzoek naar kwantumcomputers in de publieke en private sector toegenomen. Op 1990 oktober 23 beweerde Google AI, in samenwerking met de Amerikaanse National Aeronautics and Space Administration (NASA), een kwantumberekening te hebben uitgevoerd die op geen enkele klassieke computer haalbaar was, maar of deze claim geldig was of nog steeds is, is een onderwerp van discussie. actief onderzoek.
Er zijn verschillende soorten kwantumcomputers (ook bekend als kwantumcomputersystemen), waaronder het kwantumcircuitmodel, kwantum Turing-machine, adiabatische kwantumcomputer, eenrichtings kwantumcomputer en verschillende kwantum cellulaire automaten. Het meest gebruikte model is het kwantumcircuit, gebaseerd op de kwantumbit, of "qubit", die enigszins analoog is aan de bit in klassieke berekeningen. Een qubit kan zich in een 1 of 0 kwantumtoestand bevinden, of in een superpositie van de 1 en 0 toestanden. Wanneer het wordt gemeten, is het echter altijd 0 of 1; de waarschijnlijkheid van beide uitkomsten hangt af van de kwantumtoestand van de qubit onmiddellijk voorafgaand aan de meting.
Inspanningen voor het bouwen van een fysieke kwantumcomputer zijn gericht op technologieën zoals transmonen, ionenvallen en topologische kwantumcomputers, die tot doel hebben hoogwaardige qubits te maken.: 2-13 Deze qubits kunnen anders worden ontworpen, afhankelijk van het computermodel van de volledige kwantumcomputer, of het nu gaat om kwantumlogische poorten, kwantumgloeien of adiabatische kwantumberekening. Er zijn momenteel een aantal belangrijke obstakels voor het bouwen van bruikbare kwantumcomputers. Het is bijzonder moeilijk om de kwantumtoestanden van qubits te handhaven, omdat ze last hebben van kwantumdecoherentie en toestandsgetrouwheid. Quantumcomputers hebben daarom foutcorrectie nodig.
Elk rekenprobleem dat met een klassieke computer kan worden opgelost, kan ook met een kwantumcomputer worden opgelost. Omgekeerd kan elk probleem dat met een kwantumcomputer kan worden opgelost, ook met een klassieke computer worden opgelost, althans in principe met voldoende tijd. Met andere woorden, kwantumcomputers gehoorzamen aan de Church-Turing-these. Dit betekent dat hoewel kwantumcomputers geen extra voordelen bieden ten opzichte van klassieke computers in termen van berekenbaarheid, kwantumalgoritmen voor bepaalde problemen aanzienlijk minder tijdscomplexiteit hebben dan overeenkomstige bekende klassieke algoritmen. Met name wordt aangenomen dat kwantumcomputers in staat zijn om snel bepaalde problemen op te lossen die geen enkele klassieke computer in een haalbare tijd zou kunnen oplossen - een prestatie die bekend staat als 'quantum suprematie'. De studie van de computationele complexiteit van problemen met betrekking tot kwantumcomputers staat bekend als de kwantumcomplexiteitstheorie.
Het heersende model van kwantumberekening beschrijft de berekening in termen van een netwerk van kwantumlogische poorten. Dit model kan worden gezien als een abstracte lineair-algebraïsche generalisatie van een klassiek circuit. Aangezien dit circuitmodel de kwantummechanica gehoorzaamt, wordt aangenomen dat een kwantumcomputer die in staat is om deze circuits efficiënt te laten werken fysiek realiseerbaar is.
Een geheugen bestaande uit n informatiebits heeft 2^n mogelijke toestanden. Een vector die alle geheugentoestanden vertegenwoordigt, heeft dus 2^n ingangen (één voor elke toestand). Deze vector wordt gezien als een waarschijnlijkheidsvector en vertegenwoordigt het feit dat het geheugen zich in een bepaalde toestand bevindt.
In de klassieke weergave zou één item de waarde 1 hebben (dwz een kans van 100% om in deze toestand te zijn) en alle andere items zouden nul zijn.
In de kwantummechanica kunnen waarschijnlijkheidsvectoren worden gegeneraliseerd naar dichtheidsoperatoren. Het kwantumtoestandsvectorformalisme wordt meestal eerst geïntroduceerd omdat het conceptueel eenvoudiger is en omdat het kan worden gebruikt in plaats van het dichtheidsmatrixformalisme voor zuivere toestanden, waar het hele kwantumsysteem bekend is.
een kwantumberekening kan worden beschreven als een netwerk van kwantumlogische poorten en metingen. Elke meting kan echter worden uitgesteld tot het einde van de kwantumberekening, hoewel dit uitstel rekenkosten met zich mee kan brengen, dus de meeste kwantumcircuits geven een netwerk weer dat alleen bestaat uit kwantumlogische poorten en geen metingen.
Elke kwantumberekening (die in het bovenstaande formalisme elke unitaire matrix over n qubits is) kan worden weergegeven als een netwerk van kwantumlogische poorten uit een vrij kleine familie van poorten. Een keuze van een poortfamilie die deze constructie mogelijk maakt, staat bekend als een universele poortset, aangezien een computer die dergelijke circuits kan uitvoeren een universele kwantumcomputer is. Een veelgebruikte set omvat alle single-qubit-poorten en de CNOT-poort van bovenaf. Dit betekent dat elke kwantumberekening kan worden uitgevoerd door een reeks single-qubit-poorten samen met CNOT-poorten uit te voeren. Hoewel deze poortset oneindig is, kan deze worden vervangen door een eindige poortset door een beroep te doen op de stelling van Solovay-Kitaev.
Quantum-algoritmen
Vooruitgang bij het vinden van kwantumalgoritmen richt zich meestal op dit kwantumcircuitmodel, hoewel er uitzonderingen zijn zoals het kwantum adiabatische algoritme. Quantumalgoritmen kunnen grofweg worden ingedeeld naar het type versnelling dat wordt bereikt ten opzichte van overeenkomstige klassieke algoritmen.
Kwantumalgoritmen die meer dan een polynomiale versnelling bieden ten opzichte van het bekendste klassieke algoritme, zijn onder meer Shor's algoritme voor factoring en de gerelateerde kwantumalgoritmen voor het berekenen van discrete logaritmen, het oplossen van Pell's vergelijking en meer in het algemeen het oplossen van het verborgen subgroepprobleem voor abelse eindige groepen. Deze algoritmen zijn afhankelijk van de primitief van de kwantum Fourier-transformatie. Er is geen wiskundig bewijs gevonden dat aantoont dat een even snel klassiek algoritme niet kan worden ontdekt, hoewel dit onwaarschijnlijk wordt geacht. zit in het kwantumquerymodel, een beperkt model waarbij ondergrenzen veel gemakkelijker te bewijzen zijn en niet noodzakelijkerwijs vertaald worden naar versnellingen voor praktische problemen.
Andere problemen, waaronder de simulatie van kwantumfysische processen uit de scheikunde en vastestoffysica, de benadering van bepaalde Jones-polynomen en het kwantumalgoritme voor lineaire vergelijkingssystemen, hebben kwantumalgoritmen die superpolynomiale versnellingen lijken te geven en BQP-compleet zijn. Omdat deze problemen BQP-compleet zijn, zou een even snel klassiek algoritme voor hen impliceren dat geen enkel kwantumalgoritme een superpolynomiale versnelling geeft, wat onwaarschijnlijk wordt geacht.
Sommige kwantumalgoritmen, zoals Grover's algoritme en amplitudeversterking, geven polynomiale versnellingen ten opzichte van overeenkomstige klassieke algoritmen. Hoewel deze algoritmen een relatief bescheiden kwadratische versnelling geven, zijn ze breed toepasbaar en geven ze dus versnellingen voor een breed scala aan problemen. Veel voorbeelden van aantoonbare kwantumversnellingen voor queryproblemen houden verband met het algoritme van Grover, waaronder het algoritme van Brassard, Høyer en Tapp voor het vinden van botsingen in twee-op-een-functies, dat gebruikmaakt van het algoritme van Grover, en het algoritme van Farhi, Goldstone en Gutmann voor het evalueren van NAND bomen, wat een variant is van het zoekprobleem.
Cryptografische toepassingen
Een opmerkelijke toepassing van kwantumberekening is voor aanvallen op cryptografische systemen die momenteel in gebruik zijn. Factorisatie van gehele getallen, die ten grondslag ligt aan de veiligheid van cryptografische systemen met openbare sleutels, wordt verondersteld rekenkundig onhaalbaar te zijn met een gewone computer voor grote gehele getallen als ze het product zijn van een paar priemgetallen (bijv. producten van twee priemgetallen van 300 cijfers). Ter vergelijking: een kwantumcomputer zou dit probleem efficiënt kunnen oplossen door het algoritme van Shor te gebruiken om de factoren te vinden. Dit vermogen zou een kwantumcomputer in staat stellen veel van de cryptografische systemen die tegenwoordig in gebruik zijn te doorbreken, in die zin dat er een polynomiale tijd (in het aantal cijfers van het gehele getal) algoritme zou zijn om het probleem op te lossen. In het bijzonder zijn de meeste populaire openbare-sleutelcijfers gebaseerd op de moeilijkheid om gehele getallen in factoren te ontbinden of het discrete logaritmeprobleem, die beide kunnen worden opgelost door het algoritme van Shor. Met name de RSA-, Diffie-Hellman- en elliptische curve Diffie-Hellman-algoritmen kunnen worden verbroken. Deze worden gebruikt om beveiligde webpagina's, versleutelde e-mail en vele andere soorten gegevens te beschermen. Het doorbreken hiervan zou aanzienlijke gevolgen hebben voor de elektronische privacy en beveiliging.
Het identificeren van cryptografische systemen die mogelijk beveiligd zijn tegen kwantumalgoritmen is een actief onderzocht onderwerp op het gebied van post-kwantumcryptografie. Sommige openbare-sleutelalgoritmen zijn gebaseerd op andere problemen dan de integer-factorisatie en discrete logaritme-problemen waarop het algoritme van Shor van toepassing is, zoals het McEliece-cryptosysteem dat is gebaseerd op een probleem in de codeertheorie. Het is ook niet bekend dat op roosters gebaseerde cryptosystemen worden verbroken door kwantumcomputers, en het vinden van een polynomiaal tijdalgoritme voor het oplossen van het tweevlakkige verborgen subgroepprobleem, dat veel op roosters gebaseerde cryptosystemen zou breken, is een goed bestudeerd open probleem. Het is bewezen dat het toepassen van Grover's algoritme om een symmetrisch (geheime sleutel) algoritme met brute kracht te breken, tijd vereist die gelijk is aan ongeveer 2n/2 aanroepen van het onderliggende cryptografische algoritme, vergeleken met ongeveer 2n in het klassieke geval, wat betekent dat symmetrische sleutellengtes zijn effectief gehalveerd: AES-256 zou dezelfde beveiliging hebben tegen een aanval met behulp van Grover's algoritme die AES-128 heeft tegen klassiek brute-force zoeken (zie Sleutelgrootte).
Kwantumcryptografie zou mogelijk enkele van de functies van cryptografie met openbare sleutels kunnen vervullen. Op kwantum gebaseerde cryptografische systemen zouden daarom beter beveiligd kunnen zijn dan traditionele systemen tegen kwantumhacking.
Zoekproblemen
Het meest bekende voorbeeld van een probleem bij het toelaten van een polynomiale kwantumversnelling is ongestructureerd zoeken, waarbij een gemarkeerd item wordt gevonden in een lijst van n items in een database. Dit kan worden opgelost door het algoritme van Grover met behulp van O(sqrt(n))-query's naar de database, kwadratisch minder dan de Omega(n)-query's die vereist zijn voor klassieke algoritmen. In dit geval is het voordeel niet alleen aantoonbaar, maar ook optimaal: het is aangetoond dat het algoritme van Grover de maximaal mogelijke kans geeft om het gewenste element te vinden voor een willekeurig aantal orakel-zoekopdrachten.
Problemen die kunnen worden aangepakt met het algoritme van Grover hebben de volgende eigenschappen:
- Er is geen doorzoekbare structuur in de verzameling van mogelijke antwoorden,
- Het aantal mogelijke antwoorden om te controleren is hetzelfde als het aantal inputs voor het algoritme, en
- Er bestaat een booleaanse functie die elke invoer evalueert en bepaalt of dit het juiste antwoord is
Voor problemen met al deze eigenschappen wordt de looptijd van het algoritme van Grover op een kwantumcomputer geschaald als de vierkantswortel van het aantal ingangen (of elementen in de database), in tegenstelling tot de lineaire schaling van klassieke algoritmen. Een algemene klasse van problemen waarop het algoritme van Grover kan worden toegepast, is het Booleaanse vervulbaarheidsprobleem, waarbij de database waardoor het algoritme itereert die van alle mogelijke antwoorden is. Een voorbeeld en (mogelijke) toepassing hiervan is een wachtwoordkraker die een wachtwoord probeert te raden. Symmetrische cijfers zoals Triple DES en AES zijn bijzonder kwetsbaar voor dit soort aanvallen. [nodig citaat] Deze toepassing van quantum computing is een groot belang van overheidsinstanties.
Simulatie van kwantumsystemen
Omdat chemie en nanotechnologie afhankelijk zijn van het begrijpen van kwantumsystemen, en dergelijke systemen klassiek onmogelijk op een efficiënte manier kunnen worden gesimuleerd, geloven velen dat kwantumsimulatie een van de belangrijkste toepassingen van kwantumcomputers zal zijn. Kwantumsimulatie zou ook kunnen worden gebruikt om het gedrag van atomen en deeltjes te simuleren onder ongebruikelijke omstandigheden, zoals de reacties in een versneller. Kwantumsimulaties kunnen worden gebruikt om toekomstige paden van deeltjes en protonen onder superpositie te voorspellen in het experiment met dubbele spleet. Ongeveer 2% van de jaarlijkse wereldwijde energie-output wordt gebruikt voor stikstofbinding om ammoniak te produceren voor het Haber-proces in de landbouw kunstmestindustrie, terwijl natuurlijk voorkomende organismen ook ammoniak produceren. Kwantumsimulaties kunnen worden gebruikt om dit proces te begrijpen, waardoor de productie toeneemt.
Quantum annealing en adiabatische optimalisatie
Quantum annealing of adiabatische kwantumberekening is afhankelijk van de adiabatische stelling om berekeningen uit te voeren. Een systeem wordt in de grondtoestand geplaatst voor een eenvoudige Hamiltoniaan, die langzaam wordt geëvolueerd naar een meer gecompliceerde Hamiltoniaan waarvan de grondtoestand de oplossing voor het betreffende probleem vertegenwoordigt. De adiabatische stelling stelt dat als de evolutie langzaam genoeg is, het systeem tijdens het proces te allen tijde in zijn grondtoestand zal blijven.
machine learning
Aangezien kwantumcomputers output kunnen produceren die klassieke computers niet efficiënt kunnen produceren, en aangezien kwantumberekening fundamenteel lineaire algebraïsche is, spreken sommigen de hoop uit op het ontwikkelen van kwantumalgoritmen die machinale leertaken kunnen versnellen. Er wordt bijvoorbeeld aangenomen dat het kwantumalgoritme voor lineaire vergelijkingsstelsels, of "HHL-algoritme", genoemd naar de ontdekkers Harrow, Hassidim en Lloyd, sneller zou zijn dan klassieke tegenhangers. Sommige onderzoeksgroepen hebben onlangs het gebruik van kwantumgloeihardware onderzocht voor het trainen van Boltzmann-machines en diepe neurale netwerken.
Computationele biologie
Op het gebied van computationele biologie heeft quantum computing een grote rol gespeeld bij het oplossen van veel biologische problemen. Een van de bekende voorbeelden zou zijn in computationele genomica en hoe computergebruik de tijd om een menselijk genoom te sequensen drastisch heeft verminderd. Gezien de manier waarop computationele biologie gebruikmaakt van generieke gegevensmodellering en -opslag, zullen naar verwachting ook toepassingen voor computationele biologie ontstaan.
Computerondersteund medicijnontwerp en generatieve chemie
Diepe generatieve chemiemodellen komen naar voren als krachtige hulpmiddelen om de ontdekking van geneesmiddelen te versnellen. De immense omvang en complexiteit van de structurele ruimte van alle mogelijke medicijnachtige moleculen vormen echter belangrijke obstakels, die in de toekomst door kwantumcomputers kunnen worden overwonnen. Kwantumcomputers zijn van nature goed voor het oplossen van complexe kwantum veel-lichaamsproblemen en kunnen dus een hulpmiddel zijn bij toepassingen waarbij kwantumchemie betrokken is. Daarom kan men verwachten dat kwantumversterkte generatieve modellen, waaronder kwantum-GAN's, uiteindelijk kunnen worden ontwikkeld tot ultieme generatieve chemie-algoritmen. Hybride architecturen die kwantumcomputers combineren met diepe klassieke netwerken, zoals Quantum Variational Autoencoders, kunnen al worden getraind op commercieel beschikbare annealers en worden gebruikt om nieuwe medicijnachtige moleculaire structuren te genereren.
Fysieke kwantumcomputers ontwikkelen
Uitdagingen
Er zijn een aantal technische uitdagingen bij het bouwen van een grootschalige kwantumcomputer. Natuurkundige David DiVincenzo heeft deze vereisten voor een praktische kwantumcomputer op een rij gezet:
- Fysiek schaalbaar om het aantal qubits te vergroten,
- Qubits die kunnen worden geïnitialiseerd op willekeurige waarden,
- Kwantumpoorten die sneller zijn dan decoherentietijd,
- Universele poortset,
- Qubits die gemakkelijk kunnen worden gelezen.
Het inkopen van onderdelen voor kwantumcomputers is ook erg moeilijk. Veel kwantumcomputers, zoals die van Google en IBM, hebben helium-3 nodig, een bijproduct voor nucleair onderzoek, en speciale supergeleidende kabels die alleen zijn gemaakt door het Japanse bedrijf Coax Co.
De besturing van multi-qubit-systemen vereist het genereren en coördineren van een groot aantal elektrische signalen met een strakke en deterministische timingresolutie. Dit heeft geleid tot de ontwikkeling van quantumcontrollers die interfacing met de qubits mogelijk maken. Het schalen van deze systemen om een groeiend aantal qubits te ondersteunen, is een extra uitdaging.
Quantum decoherentie
Een van de grootste uitdagingen bij het bouwen van kwantumcomputers is het beheersen of verwijderen van kwantumdecoherentie. Dit betekent meestal dat het systeem wordt geïsoleerd van zijn omgeving, omdat interacties met de buitenwereld ervoor zorgen dat het systeem decohere. Er zijn echter ook andere bronnen van decoherentie. Voorbeelden zijn de kwantumpoorten en de roostertrillingen en de thermonucleaire achtergrondspin van het fysieke systeem dat wordt gebruikt om de qubits te implementeren. Decoherentie is onomkeerbaar, omdat het in feite niet-unitair is, en meestal iets is dat sterk moet worden gecontroleerd, zo niet vermeden. Decoherentietijden voor kandidaat-systemen in het bijzonder, de transversale relaxatietijd T2 (voor NMR- en MRI-technologie, ook wel de defaseringstijd genoemd), variëren doorgaans tussen nanoseconden en seconden bij lage temperatuur. Momenteel vereisen sommige kwantumcomputers dat hun qubits worden gekoeld tot 20 millikelvin (meestal met behulp van een verdunningskoelkast) om aanzienlijke decoherentie te voorkomen. Een studie uit 2020 stelt dat ioniserende straling, zoals kosmische straling, er toch voor kan zorgen dat bepaalde systemen binnen milliseconden decoheren.
Als gevolg hiervan kunnen tijdrovende taken sommige kwantumalgoritmen onbruikbaar maken, omdat het lang genoeg in stand houden van de toestand van qubits uiteindelijk de superposities zal beschadigen.
Deze problemen zijn moeilijker voor optische benaderingen, aangezien de tijdschalen orden van grootte korter zijn en een vaak aangehaalde benadering om ze te overwinnen optische pulsvorming is. Foutpercentages zijn typisch evenredig met de verhouding tussen bedrijfstijd en decoherentietijd, daarom moet elke bewerking veel sneller worden voltooid dan de decoherentietijd.
Zoals beschreven in de kwantumdrempelstelling, wordt aangenomen dat als het foutenpercentage klein genoeg is, het mogelijk is om kwantumfoutcorrectie te gebruiken om fouten en decoherentie te onderdrukken. Hierdoor kan de totale berekeningstijd langer zijn dan de decoherentietijd als het foutencorrectieschema fouten sneller kan corrigeren dan decoherentie ze introduceert. Een vaak genoemd cijfer voor het vereiste foutenpercentage in elke poort voor fouttolerante berekeningen is 10−3, ervan uitgaande dat de ruis depolariseert.
Het voldoen aan deze schaalbaarheidsvoorwaarde is mogelijk voor een breed scala aan systemen. Het gebruik van foutcorrectie brengt echter de kosten met zich mee van een sterk verhoogd aantal benodigde qubits. Het aantal dat nodig is om gehele getallen te ontbinden met het algoritme van Shor is nog steeds polynoom en wordt verondersteld tussen L en L2 te liggen, waarbij L het aantal cijfers is in het getal dat moet worden ontbonden; algoritmen voor foutcorrectie zouden dit cijfer met een extra factor L verhogen. Voor een getal van 1000 bits betekent dit dat er ongeveer 104 bits nodig zijn zonder foutcorrectie. Met foutcorrectie zou het cijfer oplopen tot ongeveer 107 bits. De rekentijd is ongeveer L2 of ongeveer 107 stappen en bij 1 MHz ongeveer 10 seconden.
Een heel andere benadering van het stabiliteits-decoherentieprobleem is het creëren van een topologische kwantumcomputer met anyons, quasi-deeltjes die als draden worden gebruikt en die vertrouwen op de vlechttheorie om stabiele logische poorten te vormen.
Quantum suprematie
Quantum suprematie is een term die is bedacht door John Preskill en verwijst naar de technische prestatie om aan te tonen dat een programmeerbaar kwantumapparaat een probleem kan oplossen dat verder gaat dan de mogelijkheden van geavanceerde klassieke computers. Het probleem hoeft niet nuttig te zijn, dus sommigen zien de kwantumsuprematietest alleen als een potentiële toekomstige benchmark.
In oktober 2019 werd Google AI Quantum, met de hulp van NASA, de eerste die beweerde kwantumsuprematie te hebben bereikt door berekeningen op de Sycamore-kwantumcomputer meer dan 3,000,000 keer sneller uit te voeren dan op Summit, algemeen beschouwd als 's werelds snelste computer. Deze claim is vervolgens aangevochten: IBM heeft verklaard dat Summit veel sneller monsters kan nemen dan beweerd, en onderzoekers hebben sindsdien betere algoritmen ontwikkeld voor het bemonsteringsprobleem dat wordt gebruikt om kwantumsuprematie te claimen, waardoor de kloof tussen Sycamore en klassieke supercomputers.
In december 2020 implementeerde een groep bij USTC een soort Boson-bemonstering op 76 fotonen met een fotonische kwantumcomputer Jiuzhang om kwantumsuprematie aan te tonen. De auteurs beweren dat een klassieke hedendaagse supercomputer een rekentijd van 600 miljoen jaar nodig zou hebben om het aantal monsters te genereren dat hun kwantumprocessor in 20 seconden kan genereren. Op 16 november 2021 presenteerde IBM op de quantum computing-top een 127-qubit microprocessor genaamd IBM Eagle.
fysieke implementaties
Voor het fysiek implementeren van een kwantumcomputer worden veel verschillende kandidaten gezocht, waaronder (onderscheiden door het fysieke systeem dat wordt gebruikt om de qubits te realiseren):
- Supergeleidende kwantumcomputing (qubit geïmplementeerd door de toestand van kleine supergeleidende circuits, Josephson-juncties)
- Gevangen ionen kwantumcomputer (qubit geïmplementeerd door de interne toestand van ingesloten ionen)
- Neutrale atomen in optische roosters (qubit geïmplementeerd door interne toestanden van neutrale atomen gevangen in een optisch rooster)
- Quantum dot computer, spin-gebaseerd (bijv. de Loss-DiVincenzo quantumcomputer) (qubit gegeven door de spintoestanden van gevangen elektronen)
- Quantum dot computer, ruimtelijk (qubit gegeven door elektronenpositie in dubbele quantum dot)
- Quantum computing met behulp van engineered quantum wells, waarmee in principe quantumcomputers kunnen worden gebouwd die op kamertemperatuur werken
- Gekoppelde kwantumdraad (qubit geïmplementeerd door een paar kwantumdraden gekoppeld door een kwantumpuntcontact)
- Nucleaire magnetische resonantie kwantumcomputer (NMRQC) geïmplementeerd met de nucleaire magnetische resonantie van moleculen in oplossing, waarbij qubits worden geleverd door kernspins in het opgeloste molecuul en onderzocht met radiogolven
- Solid-state NMR Kane-kwantumcomputers (qubit gerealiseerd door de kernspintoestand van fosfordonoren in silicium)
- Elektronen-op-helium kwantumcomputers (qubit is de elektronenspin)
- Cavity quantum electrodynamics (CQED) (qubit geleverd door de interne toestand van ingesloten atomen gekoppeld aan zeer fijne holtes)
- Moleculaire magneet (qubit gegeven door spintoestanden)
- Fullereen-gebaseerde ESR-kwantumcomputer (qubit gebaseerd op de elektronische spin van atomen of moleculen ingekapseld in fullerenen)
- Niet-lineaire optische kwantumcomputer (qubits gerealiseerd door verwerkingstoestanden van verschillende lichtmodi door zowel lineaire als niet-lineaire elementen)
- Lineaire optische kwantumcomputer (qubits gerealiseerd door het verwerken van toestanden van verschillende lichtmodi door lineaire elementen zoals spiegels, bundelsplitsers en faseverschuivers)
- Op diamanten gebaseerde kwantumcomputer (qubit gerealiseerd door de elektronische of nucleaire spin van stikstof-leegstandcentra in diamant)
- Bose-Einstein condensaat-gebaseerde kwantumcomputer
- Transistor-gebaseerde kwantumcomputer - string kwantumcomputers met meesleuren van positieve gaten met behulp van een elektrostatische val
- Zeldzame-aarde-metaal-ion-gedoteerde anorganische kristalgebaseerde kwantumcomputers (qubit gerealiseerd door de interne elektronische toestand van doteermiddelen in optische vezels)
- Op metaalachtige koolstof nanosferen gebaseerde kwantumcomputers
- Het grote aantal kandidaten toont aan dat quantum computing, ondanks de snelle vooruitgang, nog in de kinderschoenen staat.
Er zijn een aantal kwantumcomputermodellen, die zich onderscheiden door de basiselementen waarin de berekening wordt ontleed. Voor praktische implementaties zijn de vier relevante rekenmodellen:
- Quantum gate-array (berekening ontleed in een reeks kwantumpoorten van een paar qubits)
- One-way kwantumcomputer (berekening ontleed in een reeks metingen van één qubit toegepast op een sterk verstrengelde begintoestand of clustertoestand)
- Adiabatische kwantumcomputer, gebaseerd op kwantumgloeien (berekening ontleed in een langzame continue transformatie van een initiële Hamiltoniaan in een uiteindelijke Hamiltoniaan, waarvan de grondtoestanden de oplossing bevatten)
- Topologische kwantumcomputer (berekening ontleed in het vlechten van anyons in een 2D-rooster)
De quantum Turing-machine is theoretisch belangrijk, maar de fysieke implementatie van dit model is niet haalbaar. Van alle vier de berekeningsmodellen is aangetoond dat ze gelijkwaardig zijn; elk kan de andere simuleren met niet meer dan polynomiale overhead.
Om u in detail vertrouwd te maken met het certificeringscurriculum kunt u onderstaande tabel uitvouwen en analyseren.
Het EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals Certification Curriculum verwijst naar open access didactisch materiaal in videovorm. Het leerproces is opgedeeld in een stapsgewijze structuur (programma's -> lessen -> onderwerpen) die relevante curriculumonderdelen omvat. Onbeperkt advies met domeinexperts wordt ook geboden.
Voor meer informatie over de certificeringsprocedure, zie Hoe het werkt.
Belangrijkste collegeaantekeningen
U. Vazirani aantekeningen bij de lezing:
https://people.eecs.berkeley.edu/~vazirani/quantum.html
Ondersteunende collegeaantekeningen
L. Jacak et al. collegenota's (met aanvullend materiaal):
https://drive.google.com/open?id=1cl27qPRE8FyB3TvvMGp9mwBFc-Qe-nlG
https://drive.google.com/open?id=1nX_jIheCHSRB7pYAjIdVD0ab6vUtk7tG
Belangrijkste ondersteunende leerboek
Leerboek Quantum Computation & Quantum Information (Nielsen, Chuang):
http://mmrc.amss.cas.cn/tlb/201702/W020170224608149940643.pdf
Aanvullende collegeaantekeningen
J. Preskill collegeaantekeningen:
http://theory.caltech.edu/~preskill/ph219/index.html#lecture
A. Collegeaantekeningen van het kind:
http://www.math.uwaterloo.ca/~amchilds/teaching/w08/co781.html
S. Aaronson aantekeningen bij de lezing:
https://scottaaronson.blog/?p=3943
R. de Wolf college aantekeningen:
https://arxiv.org/abs/1907.09415
Andere aanbevolen studieboeken
Klassieke en kwantumberekening (Kitaev, Shen, Vyalyi)
http://www.amazon.com/exec/obidos/tg/detail/-/082182161X/qid=1064887386/sr=8-3/ref=sr_8_3/102-1370066-0776166
Quantum Computing sinds Democritus (Aaronson)
http://www.amazon.com/Quantum-Computing-since-Democritus-Aaronson/dp/0521199565
De theorie van kwantuminformatie (waterachtig)
https://www.amazon.com/Theory-Quantum-Information-John-Watrous/dp/1107180562/
Kwantuminformatietheorie (Wilde)
http://www.amazon.com/Quantum-Information-Theory-Mark-Wilde/dp/1107034256
Download het volledige offline zelflerende voorbereidende materiaal voor het EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals-programma in een PDF-bestand
EITC/QI/QIF voorbereidingsmaterialen – standaardversie
EITC/QI/QIF voorbereidend materiaal – uitgebreide versie met evaluatievragen