Zijn amplitudes van kwantumtoestanden altijd reële getallen?
Op het gebied van kwantuminformatie is het concept van kwantumtoestanden en de bijbehorende amplitudes van fundamenteel belang. Om de vraag te beantwoorden of de amplitude van een kwantumtoestand een reëel getal moet zijn, is het noodzakelijk om rekening te houden met het wiskundige formalisme van de kwantummechanica en de principes die kwantumtoestanden beheersen.
Kwantummechanica vertegenwoordigt de toestand van een kwantumsysteem met behulp van een wiskundig object dat bekend staat als een golffunctie of toestandsvector, doorgaans aangegeven met (psi) (psi) of (ket{psi}) in de Dirac-notatie. Deze toestandsvector bevindt zich in een complexe vectorruimte die Hilbertruimte wordt genoemd. De elementen van deze ruimte, de toestandsvectoren, zijn over het algemeen functies met complexe waarden.
De amplitude van een kwantumtoestand verwijst naar de coëfficiënten die verschijnen in de expansie van de toestandsvector in termen van een gekozen basis. Voor een kwantumsysteem beschreven door een toestandsvector ( ket{psi} ), als we deze toestand uitdrukken in termen van een basis ( { ket{phi_i} } ), hebben we:
[ket{psi} = som_i c_i ket{phi_i} ]Hier zijn (c_i) de complexe amplitudes die verband houden met de basistoestanden (ket{phi_i}). Deze amplitudes (c_i) zijn over het algemeen complexe getallen. Dit is een direct gevolg van de eis dat de inproductruimte compleet moet zijn en tegemoet moet komen aan de principes van kwantumsuperpositie en interferentie.
De complexe aard van de amplitudes is om verschillende redenen belangrijk:
1. Superpositie Principe: De kwantummechanica maakt de superpositie van toestanden mogelijk. Als ( ket{psi_1} ) en (ket{psi_2} ) twee geldige kwantumtoestanden zijn, dan is elke lineaire combinatie ( alpha ket{psi_1} + beta ket{psi_2} ), waarbij ( alpha ) en ( beta ) complexe getallen zijn, is ook een geldige kwantumtoestand. De complexe coëfficiënten (alfa) en (bèta) vertegenwoordigen de amplitudes van de respectieve toestanden in de superpositie.
2. Waarschijnlijkheidsinterpretatie: De waarschijnlijkheid van het meten van een bepaalde uitkomst in een kwantumsysteem wordt bepaald door de modulus in het kwadraat van de amplitude. Als ( c_i ) de amplitude is van een toestand ( ket{phi_i} ), wordt de waarschijnlijkheid ( P_i ) van het meten van de toestand ( ket{phi_i} ) gegeven door:
[ P_i = |c_i|^2 = c_i^* c_i ]waarbij ( c_i^* ) de complexe conjugaat is van ( c_i ). Deze waarschijnlijkheid moet een reëel getal tussen 0 en 1 zijn, maar de amplitude (c_i) zelf kan complex zijn.
3. Interferentie-effecten: De complexe aard van amplitudes is essentieel voor het beschrijven van interferentieverschijnselen. Wanneer twee of meer kwantumpaden interfereren, is de resulterende amplitude de som van de individuele amplitudes, en leidt het faseverschil tussen deze complexe amplitudes tot constructieve of destructieve interferentie. Dit is een fundamenteel aspect van verschijnselen zoals het dubbelspletenexperiment.
4. Unitaire evolutie: De tijdsevolutie van een kwantumtoestand wordt bepaald door de Schrödingervergelijking, waarbij de Hamiltoniaanse operator betrokken is. De oplossingen voor deze vergelijking zijn over het algemeen complexe functies. De unitaire operatoren die de evolutie beschrijven behouden de norm van de toestandsvector, maar kunnen de fase ervan veranderen, waardoor de amplitudes complex moeten zijn.
Om deze punten te illustreren, bekijken we een eenvoudig voorbeeld van een qubit, de basiseenheid van kwantuminformatie. Een qubit kan zich in een superpositie van de basistoestanden (ket{0}) en (ket{1}) bevinden:
[ket{psi} = alfaket{0} + bètaket{1} ]Hier zijn ( alpha ) en ( beta ) complexe getallen zodat ( |alpha|^2 + |beta|^2 = 1 ). Deze normalisatievoorwaarde zorgt ervoor dat de totale waarschijnlijkheid dat de qubit in een van beide toestanden ( ket{0} ) of ( ket{1} ) wordt gevonden, 1 is. De complexe aard van ( alpha ) en ( beta ) zorgt voor een rijke structuur van kwantumtoestanden en is essentieel voor kwantumberekeningen en informatieverwerkingstaken.
Neem bijvoorbeeld de Hadamard-poort, een fundamentele kwantumpoort die wordt gebruikt om superpositietoestanden te creëren. Wanneer toegepast op de basisstatus ( ket{0} ), produceert de Hadamard-poort de staat:
[ ket{+} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} + ket{1}) ]Hier is de amplitude voor zowel ( ket{0} ) als (ket{1} ) ( frac{1}{sqrt{2}} ), wat een reëel getal is. Als we echter de Hadamard-poort toepassen op de staat ( ket{1} ), verkrijgen we:
[ket{-} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{0} – ket{1}) ]In dit geval is de amplitude voor ( ket{1} ) ( -frac{1}{sqrt{2}} ), wat nog steeds reëel is. Overweeg echter een fasepoort, die een complexe fasefactor introduceert. De fasepoort ( R(theta) ) werkt als volgt op een qubit-status ( ket{psi} = alpha ket{0} + beta ket{1}):
[ R(theta) ket{psi} = alpha ket{0} + beta e^{itheta} ket{1} ]Hier is ( e^{itheta} ) een complex getal met eenheidsmodulus. Deze operatie laat duidelijk zien dat de amplitude van de toestand (ket{1}) een complexe fasefactor kan krijgen, wat de noodzaak van complexe amplitudes in de kwantummechanica benadrukt.
Denk bovendien eens aan het fenomeen kwantumverstrengeling, waarbij de toestand van het ene deeltje intrinsiek verbonden is met de toestand van een ander deeltje, ongeacht de afstand ertussen. Een verstrengelde toestand van twee qubits kan worden weergegeven als:
[ ket{psi} = frac{1}{sqrt{2}} (ket{00} + e^{iphi} ket{11}) ]Hier is ( e^{iphi} ) een complexe fasefactor, die aantoont dat de relatieve fase tussen de componenten van de verstrengelde toestand belangrijk is voor het beschrijven van de verstrengelingseigenschappen.
Bij quantum computing is het gebruik van complexe amplitudes onmisbaar voor de implementatie van quantumalgoritmen. Het algoritme van Shor voor het factoriseren van grote gehele getallen en het algoritme van Grover voor ongestructureerd zoeken vertrouwen bijvoorbeeld beide op de interferentie van complexe amplitudes om hun exponentiële versnelling ten opzichte van klassieke algoritmen te bereiken.
De noodzaak van complexe amplitudes wordt ook duidelijk in de context van kwantumfoutcorrectie. Kwantumfoutcorrectiecodes, zoals de Shor-code of de Steane-code, coderen logische qubits in verstrengelde toestanden van meerdere fysieke qubits. De complexe amplitudes in deze codes zorgen ervoor dat fouten kunnen worden gedetecteerd en gecorrigeerd zonder dat de kwantuminformatie verloren gaat.
De amplitude van een kwantumtoestand hoeft geen reëel getal te zijn. De complexe aard van kwantumamplitudes is een fundamenteel aspect van de kwantummechanica en maakt de beschrijving van superpositie, interferentie en verstrengeling mogelijk. Het gebruik van complexe getallen is essentieel voor de wiskundige consistentie van de kwantumtheorie en de praktische implementatie van kwantuminformatieverwerkingstaken.
Andere recente vragen en antwoorden over EITC/QI/QIF Quantum Informatie Fundamentals:
- Hoe werkt de kwantum-negatiepoort (kwantum NOT of Pauli-X-poort)?
- Waarom is de Hadamard-poort zelfomkeerbaar?
- Als je de eerste qubit van de Bell-status op een bepaalde basis meet en vervolgens de tweede qubit meet op een basis die over een bepaalde hoek theta is geroteerd, is de kans dat je een projectie op de overeenkomstige vector krijgt gelijk aan het kwadraat van de sinus van theta?
- Hoeveel bits klassieke informatie zouden nodig zijn om de toestand van een willekeurige qubit-superpositie te beschrijven?
- Hoeveel dimensies heeft een ruimte van 3 qubits?
- Zal de meting van een qubit zijn kwantumsuperpositie vernietigen?
- Kunnen kwantumpoorten meer inputs dan outputs hebben, net als klassieke poorten?
- Omvat de universele familie van kwantumpoorten de CNOT-poort en de Hadamard-poort?
- Wat is een dubbelspletenexperiment?
- Is het draaien van een polarisatiefilter gelijk aan het veranderen van de meetbasis voor fotonpolarisatie?
Bekijk meer vragen en antwoorden in EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals