Hoe verhoudt het meten van een kwantumtoestand met behulp van een waarneembare zich tot eigenvectoren en eigenwaarden?
Bij het meten van een kwantumtoestand met behulp van een observable speelt het concept van eigenvectoren en eigenwaarden een belangrijke rol. In de kwantummechanica worden observables weergegeven door Hermitische operatoren, wat wiskundige constructies zijn die overeenkomen met fysieke grootheden die gemeten kunnen worden. Deze operatoren hebben een set eigenwaarden en eigenvectoren die eraan gekoppeld zijn.
Een eigenvector van een waarneembare is een kwantumtoestand die, wanneer de waarneembare wordt gemeten, een definitieve waarde zal opleveren voor de overeenkomstige fysieke grootheid. Met andere woorden, het meten van het waarneembare op een eigenvector levert altijd een specifieke eigenwaarde op. Wiskundig kan dit worden uitgedrukt als de vergelijking:
EEN |ψ⟩ = een |ψ⟩
waarbij A het waarneembare is, |ψ⟩ een eigenvector is, a de bijbehorende eigenwaarde is en het symbool |...⟩ een kwantumtoestand voorstelt.
De eigenwaarde a vertegenwoordigt de mogelijke uitkomsten van de meting van de waarneembare A. Elke eigenvector |ψ⟩ komt overeen met een andere eigenwaarde a. De verzameling van alle mogelijke eigenwaarden van een waarneembaar staat bekend als het spectrum van het waarneembare.
Om een kwantumtoestand te meten met behulp van een waarneembare, moeten we het systeem voorbereiden in een superpositie van zijn mogelijke eigenvectoren. Dit kan worden bereikt door een unitaire transformatie op het systeem toe te passen. De resulterende toestand zal een lineaire combinatie zijn van de eigenvectoren, met complexe coëfficiënten die bekend staan als waarschijnlijkheidsamplitudes.
Wanneer de meting wordt uitgevoerd, valt het systeem samen in een van de eigenvectoren met een waarschijnlijkheid die wordt bepaald door de kwadratische grootte van de overeenkomstige waarschijnlijkheidsamplitude. Het resultaat van de meting is de eigenwaarde die is gekoppeld aan de eigenvector.
Beschouw bijvoorbeeld het waarneembare dat overeenkomt met de positie van een deeltje in één dimensie. De eigenvectoren van dit waarneembare zijn de positie-eigenstaten, weergegeven als |x⟩, waarbij x een specifieke positie langs de dimensie is. De eigenwaarden zijn de mogelijke posities die het deeltje kan innemen.
Als we het deeltje voorbereiden in een superpositie van positie-eigentoestanden, zoals (|x1⟩ + |x2⟩)/√2, en de waarneembare positie meten, krijgen we x1 of x2 als meetresultaat, elk met een waarschijnlijkheid van 1/2.
Bij het meten van een kwantumtoestand met behulp van een waarneembare vertegenwoordigen de eigenvectoren de mogelijke meetresultaten, terwijl de eigenwaarden overeenkomen met de waarden die bij meting kunnen worden verkregen. De waarschijnlijkheid van het verkrijgen van een bepaalde eigenwaarde wordt bepaald door de kwadratische grootte van de corresponderende waarschijnlijkheidsamplitude.
Andere recente vragen en antwoorden over EITC/QI/QIF Quantum Informatie Fundamentals:
- Is de kwantum-Fouriertransformatie exponentieel sneller dan een klassieke transformatie, en is dit de reden waarom het moeilijke problemen oplosbaar kan maken voor een quantumcomputer?
- Wat betekent dit voor qubits met gemengde toestand die onder het oppervlak van de Bloch-bol gaan?
- Wat is de geschiedenis van het dubbelspleetexperiment en hoe verhoudt het zich tot de ontwikkeling van de golfmechanica en de kwantummechanica?
- Zijn amplitudes van kwantumtoestanden altijd reële getallen?
- Hoe werkt de kwantum-negatiepoort (kwantum NOT of Pauli-X-poort)?
- Waarom is de Hadamard-poort zelfomkeerbaar?
- Als je de eerste qubit van de Bell-toestand meet in een bepaalde basis en vervolgens de tweede qubit meet in een basis die over een bepaalde hoek theta is gedraaid, is de kans dat je projectie op de overeenkomstige vector verkrijgt dan gelijk aan het kwadraat van sinus van theta?
- Hoeveel bits klassieke informatie zouden nodig zijn om de toestand van een willekeurige qubit-superpositie te beschrijven?
- Hoeveel dimensies heeft een ruimte van 3 qubits?
- Zal de meting van een qubit zijn kwantumsuperpositie vernietigen?
Bekijk meer vragen en antwoorden in EITC/QI/QIF Quantum Information Fundamentals